Od Autora

Z pewnością niektórzy czytelnicy tej książki wiedzą, że jestem matematykiem zajmującym się zastosowaniami technik komputerowych w nauczaniu matematyki. Mało kto jednak wie, że interesuję się od wizualizacją matematyczną i geometrią. Zawsze tak było. Jako uczeń, a potem student, zawsze wolałem zajmować się matematyką, w której dawało się coś narysować, nie tylko na płaszczyźnie, ale również w przestrzeni. Przyznam, nigdy nie przepadałem za tymi działami matematyki, gdzie nie dawało się rysować. Ładne wizualnie wzory matematyczne były dla mnie przyjemnością, ale nieregularne, szczególnie te z jakimi spotykamy się w fizyce, nie należały do moich ulubionych.

Drugą szczególną cechą mojego charakteru jest to, że nie lubię być długo w jednym miejscu. Kilka lat życia w tym samym mieście jest dla mnie wiecznością i po jakimś czasie szukam możliwości ucieczki do innego miasta, innego kraju i innej kultury. Moi koledzy mówią, że mam barwną przeszłość. Pewnie i mają rację, ale nic na to nie poradzę. Wędruję trochę po świecie. Wprawdzie nie tak dużo jakbym chciał, ale nie zawsze wszystko jest możliwe. W moich wędrówkach zawsze zwracam uwagę na sztukę, w której widać wpływy geometrii. Znajduję ją wszędzie, nawet tam gdzie inni ludzie jej nie widzą. Patrzę więc na dekoracje kościołów, meczetów, kamienic w Europie, czy willi w krajach arabskich i wszędzie widzę linie proste, okręgi, wielokąty nie tylko foremne, i inne figury geometryczne. Znajduję geometrię nie tylko w architekturze, ale również w chodnikach po których chodzimy, dywanach czy kilimach na ścianę, w meblach, i na okładkach starych książek.

Przez wiele lat rodzina i znajomi namawiali mnie abym spisał moje wrażenia i spostrzeżenia ze świata. Nigdy nie było na to czasu. Zawsze była jakaś inna ważniejsza sprawa zajmująca mój czas i moją uwagę. Nie mniej to wszystko, co kiedyś zobaczyłem, czekało cierpliwie na spisanie. Przełom nastąpił pewnego listopadowego, niezwykłego poranka w Istambule. Patrząc na meczet Sułtana Ahmeda w porannym słońcu wiedziałem, że nastąpił właśnie czas na to aby zacząć pisać o geometrii wokół nas. Pierwszym efektem tego postanowienia była nieduża książka Islamic Geometric Ornaments in Istanbul. Decyzja o napisaniu tamtej książki była konsekwencją właśnie tamtej listopadowej chwili. Książka o Istambule nie była ani systematycznym przewodnikiem po Istambule, nie była również pracą naukową. Przynajmniej ja tak uważam, chociaż inni uważają, że jest inaczej. O dziwo tamta książka traktowana jest jako książka z historii sztuki, a nie jako praca matematyczna. Tak więc mimo woli znalazłem się w nowej „szufladce”.

Ten właśnie listopadowy poranek był początkiem mojego pisania o geometrii w sztuce i architekturze

Po napisaniu książki o ornamentach w Istambule zdecydowałem się zrobić opis do kilku moich zdjęć, a właściwie opis konstrukcji geometrycznych pokazanych na tych zdjęciach. Wkrótce te kilka stron opisu zdjęć rozrosło się do materiału jaki znajdziecie w tej książce. Dwoje wspaniałych ludzi – mój kolega Andrzej Nowicki, oraz mój student, z czasów kiedy nauczałem na UMK, Piotr Nodzyński podeszło bardzo entuzjastycznie do tego materiału. Konsekwencją ich entuzjazmu, jak również mojego niespokojnego życia, i raczej nietypowych zainteresowań,  jest właśnie ta książka. W jej tytule kryją się dwie ważne, przynajmniej dla mnie jako autora, rzeczy. W tytule jest „geometria i sztuka” a nie na przykład matematyka i sztuka. Chcę pisać o związkach geometrii ze sztuką a nie o związkach matematyki, jako całości, ze sztuką. Może kiedyś to zrobię, ale jeszcze nie teraz. Druga ważna rzecz w tytule tej książki to słowo „szkice”. Pozwala mi ono zachować bardzo osobisty styl pisania. Ta książka jest w pewnym stopniu pamiętnikiem geometry podróżującego po świecie. Nie jest ona ani systematycznym opisem zjawiska, które określam jako ‘geometria i sztuka’ ani nawet naukowym podejściem do niego. Ot po prostu szkice, czyli pewne spostrzeżenia, opis moich wrażeń. Pokazuję tu świat taki, jakim ja go widzę i to o czym piszę nie jest ani obiektywne ani powszechnie postrzegane. Tak więc na stronach tej książki znajdziecie zdjęcia niektórych miejsc, w których kiedyś się znalazłem, a które najczęściej są mi bardzo bliskie. Znajdziecie tu również wiele konstrukcji geometrycznych związanych z tymi miejscami. Nie ma natomiast twierdzeń matematycznych ani ich dowodów. Nie ma tu nawet wzorów matematycznych – no powiedzmy z pewnymi drobnymi wyjątkami. To co mnie interesuje w tym wszystkim to głównie znalezienie odpowiedzi na pytanie ‘jak oni to skonstruowali?’. I na to pytanie za każdym razem będę próbował znaleźć odpowiedź. Jest to więc swoisty powrót do źródeł współczesnej geometrii, do czasów Euklidesa i zasad, które on i jemu współcześni stosowali. Przypomnijmy je za chwilę pokrótce, gdyż będą one nam towarzyszyły od pierwszej do ostatniej strony tej książki, być może z pewnymi drobnymi wyjątkami.

Naszymi narzędziami w tej książce będą wyłącznie – cyrkiel potrzebny do rysowania okręgów lub łuków, oraz linijka bez podziałki wystarczająca do tego aby narysować odcinek łączący dwa punkty lub przedłużyć go w jedną lub drugą stronę. Nie będziemy używać żadnych innych narzędzi.

Zasady jakie będziemy stosować są następujące[1]:

  1. Dowolne dwa punkty można połączyć odcinkiem.
  2. Dowolny odcinek można przedłużyć nieograniczenie w obie strony (linia prosta).
  3. Dla danego odcinka można narysować okrąg o środku w jednym z jego końcowych punktów i promieniu równym jego długości.
  4. Wszystkie kąty proste są równe.
  5. Przez dany punkt można poprowadzić co najwyżej jedną prostą rozłączną z daną prostą (prosta równoległa).

Interesujące jest to, że postulaty Euklidesa były stosowane nie tylko w jego czasach, ale również w późniejszych okresach. Stosowali je architekci, artyści i rzemieślnicy w czasach bizantyjskich. Znalazły one zastosowanie w sztuce i architekturze islamu oraz w architekturze średniowiecznej Europy.

Konstrukcje geometryczne omawiane w tej książce będą ilustrowane krok po kroku pokazując proces powstawania danego dzieła sztuki w taki sposób, aby czytelnik mógł wykonać je samodzielnie, a potem eksperymentować z otrzymanym tworem – kolorować je, modyfikować na wiele sposobów czy tworzyć własne wersje. Wszystkie pokazane w tej książce ilustracje wykonałem w programie Geometer’s Sketchpad. Tylko w ten sposób mogłem uzyskać odpowiednią jakość rysunków nadającą się do druku. Czytelnik może użyć dowolnego innego, znanego mu programu komputerowego, np. Cabri, GeoGebra, lub po prostu tworzyć swoje konstrukcje na papierze używając ołówka, cyrkla i linijki.

To tyle wprowadzenia, i zapraszam do obejrzenia naszego świata moimi oczami.


[1] Podane tu postulaty oddają sens oryginalnych postulatów Euklidesa ale nie są ich dokładnym tłumaczeniem. Dyskusję Elementów Euklidesa znajdziemy w wielu opracowaniach, gdzie za każdym razem są tłumaczone w nieco inny sposób. Każde z nich oddaje tylko sens postulatów wyrażony językiem właściwym dla danego autora i czasów pisania opracowania.

Advertisements