SZKIC 2 – Ozdrowieć w geometrii

Fot. 2.1 Abu Dhabi widziane z góry zachwyca swoim beżowym kolorytem

Emiraty Arabskie są bardzo młodym krajem. Jeszcze czterdzieści lat temu Abu Dhabi było wioską namiotów na małej wyspie przy brzegu Półwyspu Arabskiego.  Teraz to czarodziejskie miasto ma już ponad milion mieszkańców i fascynuje każdego przybysza swoim unikalnym nastrojem typowym dla wielu miast Bliskiego Wschodu. Kiedy przyjechałem do Abu Dhabi w 2001 roku moim pierwszym spostrzeżeniem były liczne, typowo islamskie, dekoracje na wielu domach. W miarę upływu lat znikały domy z tradycyjnymi dekoracjami a w ich miejscu powstawały nowe domy z betonu, metalu i szkła – dokładnie to samo co spotkało wiele innych miast na świecie – Tokio, Shanghai, czy Londyn. Znikały również dekoracje. Nowe domy, przynajmniej na zewnątrz, są proste i najczęściej pokryte niemalże jednolitą taflą szkła. Ornament islamski zniknął wprawdzie z powierzchni domów ale pojawia się teraz w innych miejscach i w nowej jakości. Możemy go często zobaczyć na posadzkach w nowych domach, lub na powstających licznie budynkach użyteczności publicznej – szpitalach, urzędach, meczetach, a czasem szkołach i muzeach.

Pojawiła się również nowa jakość. Ornamenty na nowych obiektach są najczęściej kopiami historycznych ornamentów z różnych części świata islamskiego. Mamy więc ornamenty pochodzenia egipskiego, marokańskiego, syryjskiego, czasem tureckiego, czy nawet irańskiego.

Fot. 2.2 Ornament islamski nad wejściem do szpitala Khalifa w Abu Dhabi jest kopią starego ornamentu egipskiego.

Ten wspaniały zespół budynków pokazany na fotografii (fot. 2.2) to najbardziej nowoczesny szpital na Bliskim Wschodzie, szpital Khalifa, w Abu Dhabi. Jego konstrukcja nawiązuje do dawnych arabskich zespołów pałacowych – mamy więc podcienia jak w pałacach z opowieści z tysiąca i jednej nocy, okna osłonięte dekoracyjnymi panelami, marmurowe posadzki i niezwykle bogate dekoracje. To właśnie te dekoracje mogą sprawić zawrót głowy u każdego matematyka. Są bardzo tradycyjne, ale jednocześnie stosunkowo łatwe do skonstruowania za pomocą cyrkla i linijki, i wykonane nowoczesnymi technikami. Przyjrzyjmy się jednej z nich z bliska. Ornament pokazany na następnym zdjęciu (fot. 2.3) jest widoczny nad wejściem do szpitala Khalifa. Jest to jeden z najstarszych ornamentów geometrycznych w sztuce Islamu. Możemy go znaleźć w różnych wersjach w starożytnych meczetach w Egipcie, Turcji czy Syrii. Ponieważ jest on niezmiernie prosty, a więc łatwy w wykonaniu, jest on często ozdabiany dodatkowo motywem arabeski wpisanym w przestrzenie pomiędzy liniami, a w przypadku dekoracji wykonanych w drewnie jest on najczęściej trójwymiarowy z licznymi intarsjami.

Bliższa analiza ornamentu pokazuje, że jest on zbudowany z ośmioosiowych rozet, każda z nich ma ośmioramienną gwiazdę pośrodku. Uważny obserwator z łatwością zauważy, że zarys każdej rozety jest w gruncie rzeczy fragmentem ośmiokąta foremnego. A każdy z tych ośmiokątów foremnych jest wpisany w niewidzialny kwadrat. Cały ten ornament da się zbudować z takich właśnie kwadratów ustawionych w rzędach i kolumnach. Na tej i dalszych stronach tego tekstu kwadraty te, czasem będą to prostokąty, nazywać będziemy szablonami, ich brzeg zarysem szablonu, a wzór wypełniający szablon motywem szablonu.

W matematyce ornamenty tego typu nazywamy deseniami. Używamy również określenia równoległobok podstawowy w odniesieniu do najmniejszego, równoległobocznego fragmentu desenia, który wystarczy do tego aby powielić ornament na całą płaszczyznę za pomocą przesunięć o dwa wektory wyznaczone krawędziami tego równoległoboku. Teoria deseni dopuszcza wszystkie równoległoboki, również te nie będące prostokątami. W sztuce islamu równoległobok podstawowy jest zazwyczaj prostokątem. Zauważmy, że w odróżnieniu od teorii deseni w tej książce dopuszczamy również odbicia lustrzane, obroty względem pewnych punktów, czy przesunięcia z odbiciem. W naszym przypadku szablon nie musi koniecznie być najmniejszym prostokątem, czy w ogóle prostokątem. Teoria deseni została opisana w roku 1952, przez Prof. Jaśkowskiego w książce O symetrii w zdobnictwie i przyrodzie.

Fot 2.3. Ornament geometryczny nad wejściem do szpitala Khalifa w Abu Dhabi

Na zdjęciu widzimy dwie istotne cechy ornamentów geometrycznych  w islamie – taki ornament, niezależnie od tego jak i czym jest ograniczony, musi sprawiać wrażenie nieskończoności. Inaczej mówiąc – patrząc na niego powinniśmy mieć wrażenie, że ornament nie kończy się na obramowaniu, ale rozciąga się do nieskończoności w każdym kierunku płaszczyzny. Drugą cechą tego ornamentu jest to, że nie ma on miejsc szczególnych, na których oko ludzkie mogłoby się zatrzymać. Patrząc na niego oko błądzi wzdłuż linii wyszukując coraz to nowe kształty. To sprawia, że patrząc na taki ornament zapominamy o świecie doczesnym i wchodzimy w stan skupienia, kontemplacji czy nawet medytacji.

Teraz, skoro już wiemy tak dużo o pokazanym tu ornamencie, zajmijmy się jego konstrukcją geometryczną. Będziemy potrzebować do tego celu papier, ołówek, cyrkiel i linijkę lub, jak kto woli, komputer i program do geometrii, np. Cabri czy Geometer’s Sketchpad. Wszystkie pokazane tu rysunki zostały zrobione w programie Geometer’s Sketchpad.

Konstrukcja ornamentu z dekoracji na szpitalu Khalifa

KROK 1: Zarys szablonu ornamentuNarysuj odcinek AB, a następnie skonstruuj kwadrat o boku AB. Kwadrat ten będzie zarysem szablonu a więc obramowaniem wspomnianej rozety i ośmiokąta foremnego.Znajdź środek każdego z boków kwadratu i poprowadź odcinki łączące przeciwległe  środki.Narysuj dwie przekątne kwadratu i zaznacz ich punkt przecięcia.  
KROK 2: Dwa kwadraty wewnętrzneNarysuj okrąg o środku w punkcie przecięcia się przekątnych i promieniu równemu połowie długości boku kwadratu.Skonstruuj dwa mniejsze kwadraty – jeden o bokach ukośnych łączących środki boków dużego kwadratu, a drugi o bokach pionowych i poziomych łączących punkty przecięcia przekątnych dużego kwadratu i okręgu (linie przerywane).Zauważmy, że na okręgu powstało 8 równooddalonych od siebie parami punktów, które są wierzchołkami ośmiokąta foremnego.  
KROK 3: Siatka linii równoległychNarysuj cztery pary linii równoległych przechodzących przez punkty przecięcia kwadratów wewnętrznych. Uwaga, w tym przypadku należy użyć prostych a nie odcinków. Za chwilę potrzebne nam będą punkty przecięcia tych linii z okręgiem i bokami dużego kwadratu.Zauważmy, że w pobliżu środka okręgu powstał pierścień punktów otrzymanych z przecięcia się linii siatki. Na rysunku punkty te zostały zaznaczone czerwonym kolorem. Użyjemy ich za chwile do skonstruowania  rozety ornamentu.  
KROK 4: Krawędzie ośmiokąta foremnegoPoprowadź proste łączące parami każde dwa sąsiadujące ze sobą punkty na okręgu. Powstanie w ten sposób zarys ośmiokąta foremnego.  Punkty przecięcia się boków ośmiokąta z liniami siatek linii równoległych utworzonych w poprzednim kroku zostały zaznaczone czerwonym kolorem.  
KROK 5: Zewnętrzny zarys rozetyUżyj krawędzi ośmiokąta foremnego do narysowania zewnętrznych krawędzi rozety. Aby odróżnić je od linii siatek oraz pozostałych linii i odcinków pomocniczych użyłem pogrubionej, czerwonej kreski.Zauważ, czerwone punkty na krawędzi ośmiokąta tworzą przerwy potrzebne do tego aby rozeta miała kształt płatka kwiatu.  
KROK 6: Kończymy rozetęTeraz poprowadź pogrubione odcinki łączące zewnętrzne punkty rozety z tymi w centrum okręgu.  W obu przypadkach są to czerwone punkty.Po narysowaniu tych odcinków widać już wyraźnie kształt rozety. Teraz czeka nas dokładne sprzątanie. W tym celu wszelkie linie pomocnicze (niebieskie, cienkie) należy wymazać z konstrukcji jeśli robimy konstrukcje na papierze, lub schować jeśli robimy ją w programie komputerowym. Możemy schować również wszystkie punkty lub zostawić je jeszcze przez jakiś czas jeśli planujemy coś zmieniać w konstrukcji.  
KROK 7: Ostateczny kształt rozetyRysunek obok pokazuje rozetę otrzymaną po wysprzątaniu konstrukcji. Zarys szablonu pozostał na rysunku aby zaznaczyć linie potrzebne do dalszych operacji geometrycznych.Wykonaj odbicie lustrzane rozety względem jej prawej krawędzi BC. Możesz powtórzyć tę operację jeszcze raz lub dwa aby otrzymać poziomy szlak rozet.Następnie w podobny sposób wykonaj odbicie lustrzane otrzymanej konstrukcji tym razem względem odcinka AB.  

Otrzymany w ten sposób większy fragment ornamentu został pokazany na kolejnym rysunku. Zarówno punkty jak i zarys szablonu zostały zostawione umyślnie aby pokazać w jaki sposób został utworzony cały ornament.

Na zakończenie tego przykładu pokazujemy jeszcze raz ten sam ornament z kolorowymi wypełnieniami obszarów pomiędzy liniami. W takiej postaci spotykamy go często jako mozaikę podłogową lub naścienną. W zależności od obszaru kulturowego, oraz użytego materiału, kolory wypełnień mogą się dość znacznie zmieniać.  Proponuję aby czytelnik narysował ten ornament, a następnie skopiował go na kilku kartkach i spróbował różnych rodzajów wypełnień, kombinacji kolorystycznych, czy nawet pogrubień krawędzi tak, aby przypominały drewniane listwy.

>> Pozostała część rozdziału w drukowej wersji książki <<

Advertisements